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數學悖論、數學危機及其對數學的推動作用

時間:2006-11-21欄目:數學論文

  數學悖論、數學危機及其對數學的推動作用
  
  悖論是讓數學家無法回避的問題。悖論出現使得數學體系出現不可靠性和失真理性,這就逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中,各種理論應運而生了,因而悖論在推動數學發展中的巨大作用。現在我作如下簡單闡述:
  
  畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”,而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰。然而,畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人”.畢達哥拉斯定理提出后,其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題:邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢?他發現這一長度既不能用整數,也不能用分數表示,而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。這卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。這一偉大發現不但對畢達哥拉斯學派的致命打擊,也對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。更糟糕的是,面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機,從而導致了西方數學史上一場大的風波,史稱“第一次數學危機”.
  
  二百年后,歐多克索斯提出的新比例理論暫時消除悖論。一直到18世紀,當數學家證明了圓周率是無理數時,擁護無理數存在的人才多起來。到十九世紀下半葉,現在意義上的實數理論建立起來后,無理數本質被徹底搞清,無理數在數學中合法地位的確立,一方面使人類對數的認識從有理數拓展到實數,另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數學危機。
  
  伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高,十七世紀微積分誕生,但是微積分理論是不嚴格的。理論都建立在無窮小分析之上,作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而,從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
  
  數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”.籠統地說,貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題:就無窮小量在當時實際應用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當時的數學界引起了一定的混亂,由此導致了第二次數學危機的產生。
  
  十八世紀開始微積分理論獲得了空前豐富。然而,與此同時十八世紀粗糙的,不嚴密的工作也導致謬誤越來越多的局面。當時數學中出現的混亂局面了。尤其到十九世紀初,傅立葉理論直接導致了數學邏輯基礎問題的徹底暴露。這樣把分析重新建立在邏輯基礎之上就成為數學家們迫在眉睫的任務。到十九世紀,批判、系統化和嚴密論證的必要時期降臨了。
  
  使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西于1821年開始給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。后來,德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ ”方法。另外,在柯西的努力下,連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。
  
  柯西之后,魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究,都將分析基礎歸結為實數理論,并于七十年代各自建立了自己完整的實數體系。1892年,另一個數學家創用“區間套原理”來建立實數理論。由此,沿柯西開辟的道路,建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論,完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性,從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。微積分學堅實牢固基礎的建立,結束了數學中暫時的混亂局面,同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。
  
  十九世紀下半葉,康托爾創立了著名的集合論,并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現,從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而這使數學家們為之陶醉。
  
  可是,1903年一個震驚數學界的消息傳出:集合論是有漏洞的!這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
  
  羅素構造了一個集合S:S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問:S是否屬于S呢?根據排中律,一個元素或者屬于某個集合,或者不屬于某個集合。因此,對于一個給定的集合,問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S,根據S的定義,S就不屬于S;反之,如果S不屬于S,同樣根據定義,S就屬于S.無論如何都是矛盾的。
  
  羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。這一悖論就像在平靜的數學水面上投下了一塊巨石,而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
  
  危機產生后,人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造,通過對集合定義加以限制來排除悖論,這就需要建立新的原則。1908年,策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系,后來經其他數學家改進,稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。公理化集合系統的建立,成功排除了集合論中出現的悖論,從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面,羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前,導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。
  
  以上簡單介紹了數學史上由于悖論而導致的三次數學危機與解決,從中我們不難看到悖論在推動數學發展中的巨大作用。而悖論提出的正是讓數學家無法回避的問題。正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣:“必須承認,在這些悖論面前,我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想:在數學這個號稱可靠性和真理性的模范里,每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數學思考也失靈的話,那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢?”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中,各種理論應運而生了:第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生;第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立;第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展。

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