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什么是“問題解決”

時間:2006-11-21欄目:數學論文

    ——“問題解決與數學教育”之一
    “問題解決”(problem solving)作為美國數學教育界在80 年代的主要口號,現在已經是一個不太陌生 的名詞了。但是,究竟什么是“問題解決”的真正意義?這仍然是一個值得深思的問題。例如,以下是幾種常 見的觀念:
    1.“問題解決”就是指把實際問題引入到數學教學之中,或者說,應當使數學問題具有明顯的現實意義;
    2.“問題解決”就是對于各種解題技巧的強調;
    3.“問題解決”就是指讓學生獨立地去解決問題。
    顯然,這些理解并不完全相同,甚至是互相對立的,而且,這些不同的理解又是如此之多,以致一個美國 數學教育家開玩笑地說,如果問數學教育工作者“什么是‘問題解決’?”7個被提問者將會提供9個不同的解 答。這種情況的出現是無足為奇的,但是,這種現象,顯然就清楚地表明了對于“問題解決”的真正意義進行 澄清的必要性和緊迫性。
    為了對“問題解決”的真正意義作出分析,我們先來對什么是“問題解決”中所說的“問題”作出說明, 這就涉及到了(數學)問題的分類。
    具體地說,由于著眼點的不同,對于數學問題可以作出不同的分類,如按問題是否具有真實意義進行分類 ,或是按問題的求解是否需要一定的創造性進行分類。由于傳統的數學教育嚴重地脫離實際,因此,作為一種 改革,我們就應在數學教學中盡可能地引入更多的具有真實意義的問題,而這對于提高學生應用數學知識的能 力和增強學生學習數學的積極性都是十分重要的;但是,應當強調的是,我們又不應當把“問題解決”中所說 的“問題”唯一地等同于實際問題。特別是那些“非常規性的問題”(non-routine problem),是需要一定的 創造性才能求解。
    事實上,如果過分地強調(數學)問題的真實意義,我們就會由一個極端走向另一個極端,并取得適得其 反的效果。如,以下是美國數學課本(九年級)中所給出的一個問題:
    一個農民在送雞蛋去市場的路上發生了車禍,盡管她本人沒有受傷,但所有的雞蛋卻都破損了。由于她事 先參加了保險,因此就前往保險公司索賠,后者要求她說出損失雞蛋的數目,她說她不知道準確的數字,而只 記得以下的事實:當她把雞蛋裝進小盒時,如果成雙地裝則剩下一個;如果三個三個地裝也剩下一個,四個、 五個、六個地裝也是同樣的情況;而當她七個七個地裝時則正好裝完。問:(1)她有多少個雞蛋?(2)這一 問題是否只有一個答案?
    筆者認為,在此,我們可以清楚地看到由于過分強調“聯系實際”所造成的勉強做作,而我們教學中如果 不注意糾正的話,則就必然會取得適得其反的結果,非但不能真正調動學生學習數學的積極性,反而會使他們 感到數學是無意義和毫無用處的。
    其次,應當指出的是,盡管問題的選擇構成了“問題解決”的重要一環,但又并非是唯一的環節。例如, 在選擇出了“適當”的問題以后,還存在這樣的問題,我們應當如何去實行“問題解決”的教學?我們又應通 過“問題解決”的教學達到什么樣的目的?
    事實上,問題的提出與解決從來就是數學教學的一個重要組成部分,但這可能被用作數學知識教學的一種 手段,即,如何通過問題來引入有關的教學內容、并通過問題解決來達到復習、鞏固和檢查的目的(從更廣義 的角度說,我們還可通過“問題解決”來調動學生學習數學的積極性,體現學習數學的重要性,并使學生感受 到科學研究的樂趣);也可能被認為是一種技能,希望通過大量的解題,使學生掌握各種具體的解題方法和技 巧,顯然,這就是所謂的“題海戰術”。那么,究竟什么是現在所說的“問題解決”的真正意義呢?
    具體地說,與上述的兩種理解不同,“問題解決”應當被看成是一種創造性的活動,是如何綜合地、創造 性地應用所學知識和方法去解決非常規性的問題。顯然,在這樣的理解下,“問題解決”的核心就并非是各種 特殊的解題方法或技巧,而是一些十分一般的思想方法或思維模式(為了對這兩者作出明確的區分,在現代的 研究中人們有時就把后者稱為是“高層次的思維方法”。)另外,與對于數學知識的強調相比,“以問題解決 作為學校數學教育的中心”則就更為清楚地體現了數學教育思想的根本性轉變,即是,認為應把幫助學生學會 “數學地思維”,從而提高解決問題的能力作為數學教育的主要目標。
    顯然,正是以上的基本指導思想決定了問題的選擇標準:我們應當集中于所說的“非常規性問題”,另外 ,這一基本指導思想顯然也就表明了在“問題解決”的教學中我們不能對學生采取“完全放任”的態度,特別 是不能以問題的解決作為教學的最終目標。事實上,這也正是初學者(或者說,“不好的解題者”)與數學家 (“好的解題者”)在思維方法上的一個重要區別:前者往往滿足于用某種方法(包括觀察、實驗和猜測), 求得具體的解答而不去進一步追究相應的解釋,也不去思考是否存在有不同的解法,以及是否可能對所獲得的 結果作出進一步的推廣;與此相反,數學家們并不停止于某個具體問題的解決,而是致力于進一步的思考:在 這些看上去并無聯系的事實背后是否隱藏著某種普遍的理論?這些事實能否被納入某個統一的數學結構?等等 。從而,為了幫助學生學會“數學地思維”,在“問題解決”的教學中教師也就應當發揮重要的作用,而不能 將此片面地理解為“讓學生獨立地去解決問題”。
    一般地說,教育思想的轉變決定了“問題解決”的教學應當采取與傳統的數學教學不相同的一種新模式。 例如,以下即是一種可能的新模式。
    第一,在學生以個人或小組為單位具體地從事解題活動前,應組織全班性的討論,以促使學生“弄清問題 ”,在這一階段教師的主要工作有:
    自己或請一位學生朗讀問題,弄清其中的詞匯的意義。
    組織學生進行討論以弄清問題。這主要是:什么是已知的,什么是所要求的。應當注意的是,這時不要提 出太多的問題,以免使學生感到不再有必要自己去對問題進行理解。
    組織學生討論可能的解題方法,注意這時不要對學生的建議作出評價。
    第二,在學生具體地從事解題活動時,教師應在教室中巡回,并采取以下的行動:
    觀察學生的解題行為,并請學生對自己的工作進行說

明。
    如果學生陷入困境,在如何選擇和實施解題策略方面給以一定的啟發,必要時,應適當重復先前階段中曾 用以弄清題意的問題。
    如果學生獲得了某種解答,要求學生對此進行檢驗。
    對問題作出推廣,以使較早完成者(在時間許可的情況下,則是整個班級)繼續工作。
    第三,在學生的解題活動結束以后(指已經獲得了解答、并對此進行了檢驗),再次組織全班進行討論:
    對學生所采用的解題方法進行討論,特別是不同方法之間進行比較,讓學生對自己所采用的方法進行“命 名”。
    對剛才所解決的問題與現前曾求解的類似問題進行比較,對問題的推廣進行討論。
    對問題的一些特殊的方面進行討論,諸如不尋常的數據、容易產生“錯誤”的地方、“關鍵詞”等。
    綜上可見,“問題解決”這一口號的提出包含了教育思想乃至教學形式的根本性變化,從而這就是數學教 育中的一次重要的改革運動。

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