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不能只憑想象

時間:2006-11-21欄目:數學論文

有些貌似簡單,似乎不需要通過計算就能得出結論的問題,往往容易使你判斷失誤,造成錯解。我們先看 例1。
    例1 有兩塊大小一樣的正方形鋼板,其中一塊沖出4塊大小一樣的圓形鋼片(如圖1(甲)),另一塊沖出 9塊大小一樣的圓形鋼片(如圖1(乙))。問哪一塊鋼板所剩的下腳料多?
    附圖{圖}
    乍一看,圖1(甲)所剩的下腳料多一些,因為圖1(甲)中的空隙大,而圖1(乙)中,每個圓的面積小, 填補空隙的能力強, 留下的空隙小,似乎很有道理,其實不然。我們先解決一個簡單的問題。 如圖2,求正方 形內切圓的面積占該正方形面積的百分之幾?
    a
    不妨設這個正方形的邊長為a,則其內切圓的半徑為──,
    2
    a
    3.14×(—)[2]
    2 1
    由────────────=3.14×──=78.5%,得正方形內
    a[2] 4
    切圓的面積占該正方形面積的78.5%。
    附圖{圖}
    現將圖1中的(甲)(乙)兩圖添作輔助線,如圖3所示:
    附圖{圖}
    令正方形鋼板的面積為S,由上例立即得到,圖3(甲)中每個圓形
    1 1
    鋼片的面積為──S×78.5%,所剩下腳料的面積為S-──S×78.5%
    4 4
    1
    ×4=21.5%S。同理,圖3(乙)中每個圓形鋼片的面積為──S×78.5
    9
    1
    %, 所剩下腳料的面積為S-──S×78.5%×9=21.5%S。綜上所述,
    9兩塊鋼板所剩的下腳料同樣多。
    例2 如圖4,兩只同樣大的硬幣,其中一只固定,另一只沿其周邊滾動(無滑動)。當滾動的一只硬幣沿 固定的一只硬幣周邊滾過一圈回到原來的位置時,滾動的那個硬幣轉了幾周?
    附圖{圖}
    對這個問題不仔細考慮,動幣好像轉了一周。但認真加以分析,問題并不那么簡單。為了便于說明問題, 在動幣圓周上取一點A(如圖4),考察A轉過的角度,每轉過一個360°為一周。現將此運動分解成兩種簡單運 動。第一種運動,如圖5(甲),動幣的軸AB 的方向始終指向定幣的圓心,B點在定幣周邊上滑動一周,此時, A轉過360°; 第二種運動,如圖5(乙),動幣沿著與定幣周長相等的一條線段滾動,A又轉過了360°。這樣 ,以上兩種運動合起來,動幣轉了2周。本題,也可以用動幣圓心軌跡的長除以動幣的周長,求出動幣轉的周數 。以上結果,可通過動手操作,直接得到驗證。
    附圖{圖}
    由此看出,對一些似乎能一眼看出答案的題目,不能只憑想象,還要通過分析、計算或實際操作,從而得 出正確的結論。現在,你一定能正確的判斷出圖6中從A到B 的兩條路徑(每段弧都是一個半圓)的長短,試試 看。

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