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培養和提高小學生數學能力的實驗研究

時間: 2006-11-21 欄目: 數學論文

提要 數學能力在學生的生活、學習和工作中占有很重要的地位。根據影響數學能力結構的幾個因素選編 訓練題,以小學一年級的學生做實驗對象,本文得出三點啟示。
    關鍵詞 數學能力 能力結構 遷移
    * * *
    一、實驗目的、任務
    培養學生的能力、發展學生的智力是廣大教育工作者和教育研究者極為關注的問題。而學生的數學能力在 學生的生活、學習和工作中占有很重要的地位。所以,我們更要重視數學能力的培養和提高。
    什么是數學能力?認知發展理論、心理計量學以及認知心理學都進行過大量研究,但并無統一定論。近代 心理學家們比較一致的看法是:數學能力是一種特殊的能力并具有一個復雜的結構。西方心理學家們認為一般 智力因素、數因素和推理因素在數學能力結構中占有重要位置。蘇聯心理學家克魯切茨基認為,對數學材料及 其關系的概括能力是數學能力的核心。我們對數學能力結構的認識是以中央教科所在全國組織的小學生數學能 力研究的理論為依據的。
    中央教科所曾在1982至1989年組織全國九個地區,對小學1-6年級學生的數學能力進行了追蹤 測查與評價。研究認為:小學生的數學能力,主要是形成和運用抽象的數學概念的能力。在數學能力結構中起 主導作用的因素是對數量關系和其它數學材料的概括能力以及同這種概括有直接關系的可逆思考和函數思考能 力,同時也包括對數學材料的感知和空間關系的想象能力。為提高小學生數學能力,我們試圖把全國對小學生 測查與評價的研究結果在小學實際教學中發揮一定效益,根據上述數學能力結構的幾個方面,我們編制了系列 訓練題,結合小學數學的教學實際進行實驗,以期找到提高小學生數學能力的正確途徑,并給教學工作提供一 些有參考價值的材料。
    二、實驗材料和實驗對象
    實驗材料:根據影響數學能力結構的幾個因素,選編訓練題。我們共選編了10套訓練題,2套測驗題。
    實驗對象:是范西路小學剛入學的一年級學生,實驗班由教務處隨機指定(共70人,男37人,女33 人),另兩個班為對比班(分別為68人和69人)。
    三、實驗方法
    學生的數學能力主要是在學習和掌握數學知識和技能的過程中提高和發展的,同時也是在掌握和運用數學 知識的過程中表現出來的。本實驗配合學生數學知識學習的不同階段進行。具體是每星期訓練一次,一次一個 小時,期中進行一次比較性的測驗,后半學期改為每兩周訓練一次,期末進行一次比較性的測驗。
    四、實驗結果
    (一)期中進行的比較性測驗的結果
    表1 實驗班與對比班(1)期中成績及差異
    (附圖 {圖})
    表2 實驗班與對比班(2)期中成績及差異考驗
    (附圖 {圖})
    由表1、表2可以看出,經過5周的訓練,實驗班的成績均明顯高于對比班。
    (二)學期結束時進行的比較性測驗的結果
    表3 實驗班與對比班(1)期末成績及差異考驗
    (附圖 {圖})
    表4 實驗班與對比班(2)期末成績及差異考驗
    (附圖 {圖})
    由表3和表4可以看出,實驗班的成績顯著優于對比班。
    (三)實驗班期中與期末成績比較
    從圖1中可以看出實驗班學生的成績,整體有很大的提高,尤其中上的學生人數,由期中時33.3%提 高到期末的42.9%,而中下和差等生比例期末比期中分別降低6.4%和1.6%。
    (四)實驗班男、女學生期末成績及差異考驗
    (附圖 {圖})
    由此可以看出,男、女學生成績并無顯著差異
    (附圖 {圖})
    圖1 期中與期末成績五級分配百分比
    五、討論
    (一)實驗班與對比班共三個班,三個班學生上過育紅班的比率、男女學生數以及獨生與非獨生子女數等 因素都相差不多,所以我們認為訓練前實驗班與兩個對比班的基礎是相同的。由實驗結果可以看出,經過能力 訓練的實驗班成績顯著高于對比班,說明實驗班學生數學能力得到了提高,也說明根據教學進度,采取定期訓 練的方法是可行的。
    (二)從實驗班期中與期末成績五級分配的百分比可以看出,學生成績普遍有所提高,特別是中等學生比 率增加較大,表明了小學生數學能力不斷發生變化、不斷提高的一般發展趨勢,也說明我們這種訓練可以加速 學生的發展,尤其是對有一定發展潛力的中等學生有更大的促進作用。
    (三)從整體看,女生平均成績略高于男生,但未達到顯著性的差異,說明小學一年級的數學能力不以男 、女性別為轉移。
    (四)在訓練過程中,我們遵循從易到難的原則安排各項訓練題目,在掌握和運用數概念的水平上,具體 通過對應、守恒、分類、分組數數、數的分解與組合等項目進行訓練;在數的概括與推理能力上,具體通過數 的推理、序數以及數量之間的關系概括等項目來訓練;在空間知覺和空間觀念上,考慮到小學低年級兒童的思 維特點,只進行了初步的三維空間觀念的訓練。這些項目的訓練都是相互聯系、互相補充而不是孤立進行的。 例如:在分類項目的訓練中,同時也訓練了對數量和數學材料的比較與概括能力。通過以上這些內容的訓練, 我們對小學一年級數學能力各方面的發展水平有了較明確的認識:
 

;   1、對應是數學中一個重要的思維方法。對應的過程是整數結構的基礎,是進一步學習求差問題的基礎, 同時也是函數概念的基礎。訓練中我們發現小學一年級大部分學生能基本掌握對應觀念,他們在解決比較簡單 的、直觀性較強的題目時,完成比較好。如:在完成一對一的對應題目時,通過率為93.6%,在完成一對 二的對應題目時,通過率為78.6%。但對比較復雜需要應用對應知識解決實際問題的題目,有許多人發生 了困難。如:“下圖有24個三角,你能很快說出有多少個嗎?”
    (附圖 {圖})
    訓練前,通過率為54.9%,學生的困難在于他們雖有了一定的對應觀念,但還不能實際地運用,認識 不到各圖形間的關系。所有不能解答這個問題的學生的共同特點是,總是試圖通過數數來解決問題。這說明小 學一年級學生還保留著學齡前期的直覺行動思維的特點。但經過幾次訓練之后,對于同等難度的題目通過率上 升為67.6%。這說明雖然低年級學生思維直觀性較強,但教師有意識地培養訓練學生的抽象概括、靈活運 用知識的能力,還是能發揮學生的潛力的。
    2、守恒是指改變一個物體的物理性質--改變其形狀、長度、方向和位置,并不改變其原有的總量。守 恒是隨著可逆性概念的發展而來的。按照皮亞杰的理論,小學一年級學生正處于思維發展的具體運算的開始階 段,他們已具有進行更高級的構造型數學活動的準備性,但還沒有達到守恒性。我們的訓練證實了這一點,訓 練開始時學生對數量守恒、重量守恒、液體守恒、面積守恒的通過率分別為47.1%、58.3%、52. 4%、54.3%,都只有一半左右的同學具有一定的守恒性。所有不能完成題目的學生,他們都不能根據物 體的各種屬性的關系來分辯物體的不變性,如:高、矮和寬、窄之間的抽象關系,他們的思維受物體的空間排 列和形體變化的影響。但經過訓練后,學生對各種守恒基本上都能掌握,通過率在75%-84%之間,說明 小學一年級兒童已具有一定的學習準備性,可利用適當的教學內容與方法使這種準備性成為現實。
    3、分類。學生對于有明確的分類標準的題目及單因素特征的題目掌握較好,訓練前通過率分別是76. 8%和71.6%。經過訓練后,同等難度的題目80%以上的學生均能掌握,說明一年級學生部分與整體及 有關的概括能力在適宜的教學條件下可以得到一定發展。但對于自定分類標準和多因素特征分類的題目,學生 掌握得很差,訓練前通過率僅為4.5%,大部分學生對這種類型的題目無從下手,有一部分學生只能按一種 標準進行分類。通過訓練,同類型題目通過率上升為24.4%,這說明小學一年級學生思維主要以直觀思維 為主,自定標準分類要求學生有較強的獨立工作能力,尤其多因素的分類,涉及到同時既是一種屬性的全部, 又是另一種屬性的一部分的部分與整體關系,這要求學生能理解全類中的一小類與全類的大小關系即解決分類 包含的問題,也要理解一事物具有幾種屬性和不同事物具有同一屬性的邏輯關系,從多因素的分析中解決分類 問題。這種對數學材料的較高水平的概括不是一年級學生所能解決的。這個結果提醒我們,數學教學要適合兒 童的思維特點,不能單純求快求難,超出兒童的認知發展水平。
    4、數概念是集合數(基數)和順序數(序數)兩者的結合,學生要理解和運用數概念,需要在序列化的 集合中把握數的概念。一年級學生對序數已初步掌握,對單純的序數題,通過率為83%,對復雜一些的基、 序數混合題通過率僅為48.3%。許多學生在回答這種類型的題目時,往往弄不清什么是基數,什么是序數 ,以致把題做錯,說明學生對基、序數概念的掌握還不是很牢固。經過講解、訓練,大部分學生對這類題目都 能完成。但對運用基、序數知識解決實際問題的題目,完成得很差。如:“小朋友排成一隊,從前面數林林排 第8名,從后面數林林排第7名,問這隊小朋友共有多少人?”此題通過率僅為14.1%,沒有答對的學生 遇到此種類型的題目,往往將8與7進行相加,而沒有考慮到序列的排列,將結果減1。而在做“小朋友排成 一隊,林林前面有7個人,后有8個人,問這隊小朋友共幾人?”題目時,沒有考慮到這是個基數問題,在計 算時結果忘記加1。這些結果說明,小學一年級只有少部分學生具有對基、序數關系的概括運用能力。
    5、數概念形成的最重要標志是:能明確地把握住數群結構,自由地進行分解組合。小學一年級學生對1 0以內數的分解組合已經基本掌握,對于與書上形式一樣的題目,通過率可達95.7%,但他們使用數的分 解組合的知識解決實際問題的能力卻很差,如“有12個小朋友排成兩隊,如果一隊有1人,那么另一隊有1 1人,想一想,這些小朋友共有幾種排法?”
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    如果一隊有→1……………………
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    那么別一隊有→11……………………
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    這道題的通過率只有5.1%,說明小學一年級學生對數概念的理解深度和概括化程度還很低,對于那些 需要重新組織自己的已有知識經驗,具有較大的思維靈活性和創造性的題目,還不能順利解決,經訓練后通過 率則上升為37.8%。這個結果說明,只要我們抓住數概念的基本內容,在教學中注意與實際問題相結合, 引導學生運用已有知識,他們的成績會有顯著的進步。
    6、對數量關系及其它數學材料的概括與推理能力,是數學能力結構中起主導作用的因素,也是學生掌握 和運用數概念所必需具備的最基本的能力。從訓練中我們可以看到,小學一年級學生對具體事物的概括以及數 列間異同的概括能力較好,通過率在80%以上,說明大部分同學已具有一定的概括能力。
    推理題目類型有形象的圖形推理、抽象的文字推理以及數列推理,通過訓練發現,小學一年級學生總體來 講,推理能力較差,而相對這三種形式的推理情況來看,形象的圖形推理最好,數列推理次之,文字推理最差 。如:
    (附圖 {圖})
    通過圖形表示出來,通過率為35.94%,而相似的題目用文字表示出來,通過率僅為19.1%,這 說明直觀形象的推理早于抽象的推理。

    7、對空間關系的知覺能力,也是數學能力的主要因素之一。學生們對一維(線段圖)、二維(平面圖) 空間的題目回答較好,對于三維空間題目回答較差,如:
    有20%的學生能正確回答出10塊,說明這部分學生已基本具有一定的“體”的概念,有立體空間表象 ,能夠從三維空間角度來辯別當前對象,而大部分學生只是試圖從三維空間角度來識別對象,他們的空間表象 還受當前視野范圍內所見到的“面”的限制,不能發現圖中被完全遮蔽的3塊立方,所以他們大都回答為7塊 ,有的學生甚至把“面”當“體”,不區分維度,回答為17塊。這說明剛入學的兒童仍明顯地保留著幼兒階 段的三維空間的知覺特點。
    六、對教學工作的建議
    通過以上的數學訓練實驗,我們對剛入學的小學一年級學生的數學能力的發展水平有一個初步認識,對此 我們也得到一些啟示,這可以作為數學教學中的參考:
    (附圖 {圖})
    1、數學能力結構諸因素的發展客觀上存在不平衡性,數學能力的培養及數學教學應遵循兒童心理發展中 所存在的這種客觀性。總的講,小學時期兒童數學能力不斷地發生變化,不斷地提高水平,這是兒童發展的一 般趨勢,但具體到數學能力各因素的時候,這個一般趨勢又表現出很大的不平衡,這在小學一年級學生數學能 力發展中就顯著地體現出來了。如:對應關系、守恒、分類整理(子集與全集的關系)以及單純序列等經過一 定的訓練,學生成績提高很快。而可逆運算、函數思考、對數字和數學材料的概括能力以及空間想象力等,即 使經過多次訓練,學生成績提高也很困難,這說明數學能力結構各因素的發展是不同步的。我們的教學必須針 對學生必理發展特點進行,一切落后或逾越兒童心理發展水平的教學都將獲益甚微,事倍功半,甚至會阻礙學 生智力的發展。
    2、遷移和培養。從訓練來看,凡能將課堂所掌握的知識、運算技能遷移到同類的以不同形式出現的題目 上去,成績就高,反之就低。由此可見,培養學生遷移能力是至關重要的。培養學生遷移能力,首先要注意使 學生牢固地掌握數學的基本知識和技能,這是遷移的前提與基礎。其次要努力提高學生對數學問題的分析、概 括能力,這是遷移的關鍵。遷移從本質上講就是概括,學生之所以能解決新的數學問題,就是因為學生能把當 前遇到的新課題納入到已有的相應數學知識結構中,并從中找到與新課題的共同點,發現新課題的本質,從而 提取出原有的知識去解決當前的具體問題。所以,發展學生的分析、概括能力是遷移的關鍵,如果從低年級就 開始注意這個問題,那么在六年的學習中,學習的數學能力會有一個長足的發展。
    3、了解學生的“最近發展區”,促進數學能力的發展。教學應走在發展的前面,而不應落在發展的后面 。維果茨基把兒童發展劃分為兩個水平:第一種水平是兒童現有發展水平,表現為兒童能獨立地解決問題,獨 立地學得知識;第二種水平是兒童尚處在形成狀態,在發展過程中,表現為兒童還不能獨立地解決問題,獨立 地獲得知識,需要成人的幫助,這就是兒童的“最近發展區”。教育者應著眼于兒童的“最近發展區”。“最 近發展區”決定著教學的可能性和教學的最高閾限,所以,了解教學對象的總體“最近發展區”及每個學生的 “最近發展區”,使我們的教學走在發展的前面,那么,學生的數學能力將會得到最充分的發展,這也是我們 進行數學能力訓練的目的。
    (曹啟剛、苗學宜老師對于我們的實驗研究給予了許多具體指導,杜玉鳳、龔容老師在統計上做了大量工 作,同時也得到范西路小學領導及老師們的支持與合作,在此我們一并致謝)


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