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化抽象為直觀,由感性到理性

時間:2006-11-21欄目:數學論文

——圓面積教學的嘗試
    圓是小學數學幾何圖形教學的最后一部分內容。它是在學生學習了直線圖形以及圓的認識和周長之后進行 的。在此之前,學生雖然已經學習了長方形、正方形、三角形、梯形等幾何圖形知識,但是在圓的面積公式教 學中,涉及到以直代曲的轉化過程及極限的思想,認識進入了一個新的領域,這對于抽象思維能力較低的小學 生來說,是學習中的難點。為了突破這一難點,我采用直觀演示法進行教學,化抽象為直觀,用極限的思想展 示以直代曲的轉化過程,使學生對圓面積公式的推導有一鮮明、正確的感性認識。下面談談我對這一內容的教 學設想。
    一、分割圓面,認識曲直關系
    1.教師演示。將一個圓對折兩次,并沿折痕剪開,貼在黑板上,如圖(1)所示。指導學生分析觀察,并設 問:(1)圖1 是由哪些線組成的?(2)這些線與圓的半徑和周長有何關系?
    附圖{圖}
    圖(1)
    接著再將圖(1)中的四個圖形分別對折、剪開并貼在黑板上, 如圖(2)所示。
    附圖{圖}
    圖(2)
    指導學生觀察分析并回答:比較圖(1)與圖(2),有何異同?半徑變了沒有?周長變了沒有?隨著圓等 分份數的增加,圓周曲線的彎度有什么變化?
    通過教師的演示,使學生初步觀察并感知到隨著圓等分份數的增多,曲線逐漸變“直”了。
    2.學生操作。教師指導學生按以上操作,將圓等分,觀察圓的曲線變化的情況,折剪次數盡可能多一些。 在學生操作和觀察的基礎上,教師啟發學生思考:如果將圓不斷等分下去,這個圓所等分的圓弧組成的曲線最 終將變成什么樣子?在學生回答的基礎上,教師小結:如果我們把一個圓等分成很多近似的等腰三角形排起來 ,等分得越細,圍成圓的那條曲線就越接近于直線。通過以上講解,為學生理解課本中:“等分的份數越多, 拼成的圖形就越接近于長方形”奠定了基礎。同時,在學生的動手操作中自然而然地滲透了“極限”的思想。
    二、用三角形拼組圓,進一步理解曲直關系
    在以上教學的基礎上,可用三角形拼組圓,使學生進一步理解曲線和直線在一定條件下是可以互相轉化的 。
    附圖{圖}
    圖(3)
    按圖(3)所示,讓每一個學生拿出一張長方形紙, 沿其對邊中點的連線對折兩次,成一小正方形;再以 正方形雙層邊的交點為頂點對折,成一直角三角形。又以原頂點,將雙層直角邊和斜邊對折,重復對折數次, 成一疊三角形,然后剪去單層邊,使之成為一疊等腰三角形,最后全部展開,形成一個“近似圓”,如圖(4) 所示。
    附圖{圖}
    圖(4)
    引導學生觀察這個“近似圓”,問學生:
    (1)這個“近似圓”是由許多什么圖形拼成的?
    (2)如果折的次數越多, 形成的“近似圓”的三角形的底邊將越短,它們所組成的圖形越接近于什么圖 形?
    在學生回答的基礎上,教師引導學生總結出:如果所組成的小三角形的個數越多,由這些小三角形底邊所 圍成的“近似圓”就越接近于圓。這里再次滲透了“極限”思想,說明直線在一定條件下可以轉化成曲線,為 “圓面積”計算公式的推導打下基礎。
    三、通過把圓分割拼組成“近似長方形”的演示,推導出圓面積的計算公式
    這時,教師可趁熱打鐵,出示圓面積演示儀,演示并讓學生觀察如何把一個圓平均分成16等份,使之拼成 一個“近似長方形”。然后提問:
    1.如何使這個“近似長方形”的長越來越接近“直線”,使之變成長方形呢?
    2.這個拼成的“近似長方形”的長和寬是圓的哪一部分,二者有何關系?
    3.這個拼成的長方形的面積與原來圓面積有何關系?
    教師在引導學生回答后,總結、板書如下:
    1.這個長方形的長是被等分圓的周長的一半,即:
    長方形的長=C/2=2πr/2=πr
    2.這個長方形的寬是被等分圓的半徑(r)。
    3.被等分圓的面積等于所拼成的長方形的面積。即:
    長方形的面積= 長 × 寬
    ┃ ↑ ↑
    ┃ ↓ ↓
    圓 的 面 積= πr × r=πr[2]
    四、巧設練習,鞏固知識
    1.回答以下問題。
    (1)圓面積的計算公式是怎樣推導出來的?
    (2)比較圓的周長和圓的面積計算公式的異同。 他們計算結果的單位相同嗎?
    (3)求圓的面積時必須知道哪個量? 這個量的單位和計算出的圓面積的單位有什么關系?
    (4)想想看,如果知道圓的直徑或周長時該怎樣求圓的面積?
    2.選擇題。
    (1)在圓面積公式S=πr[2]中,r[2]表示( )。
    ①2r ②r×r ③r+r
    (2)一個圓的半徑擴大3倍,圓面積就擴大( )倍。
    ①3 ②6 ③9 ④28.26
    (

3)大圓直徑為6厘米,小圓的直徑為4厘米, 小圓的面積是大圓面積的( )。
    ①2/3 ②5/6 ③4/9 ④1/9
    (4)一個圓的周長是25.12分米,它的面積是( )平方分米。
    ①50.24 ②25.12 ③3.14
    (5)半徑為2米的圓的周長和面積( )。
    ①相等 ②不相等 ③不能比較
    通過以上練習,不但鞏固了學生所學知識,而且通過信息反饋,及時了解學情,針對教學中存在的問題, 及時進行回授。

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