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深究習例開拓能力

時間: 2006-11-21 欄目: 數學論文

深究是一種重要的思想方法和學習方法。
    教師充分挖掘課本習、例題的潛能,不僅能開拓學生的解題思路,激發學生的學習興趣,而且還能有效地 開拓學生的能力,提高教學質量。
    一、變形創新,培養思維轉換能力
    思維轉換能力是指:由一種思維對象轉移到另一種思維對象,由一種思維方式過渡到另一種思維方式的能 力,也就是通常所說的思維的靈活性。適當地把問題引伸、變形,對于調動學生的學習興趣,學習的積極性和 主動性,激發學生的求知欲望,拓寬解題思路、培養思維轉換能力,有著重要意義。如:
    例1,如圖1,MN是⊙O的切線,AB是⊙O的直徑,求證:點A,B與MN的距離和等于⊙O的直徑。(《幾何》第 三冊P116第8題)
    (附圖 {圖})
    圖1
    此題是很普通的習題,但經過深究,不難發現它的內涵之豐富。
    (一)解題方法
    1.連結OC,證明半徑OC是直角梯形的中位線。
    2.過C作CG⊥AB,連結AC、BC,證明△ADC≌△AGC,△BEC≌△BGC得AD=AG,BE=BG
    BE AD OC
    3.如圖2,連結OC,延長AB交MN于P,顯然sinP=──=──=── ?
    PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ,即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
    從而 BE+AD=2OC
    (附圖 {圖})
    圖2
    (二)變形創新
    如果MN不是切線,而是割線,則有
    例2,如圖3,AB是⊙O的直徑,MN交⊙O于E、F(E、F在AB的同側)兩點,AD⊥MN,BC⊥MN,垂足分別為D、 C,連結AF、AE,設AD=a,CD=b,BC=c,求證:tg∠DAF和tg∠DAE是方程:ax[2,]-bx+c=0的根
    DF+DE DF+DE
    證明:①證tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
    AD a
    b
    ②過O作OG⊥EF,證DF=CE,得tg∠DAF+tg∠DAE=── ,
    a
    BC
    ③連結BE,證 ∠CEB=∠DAE,tg∠DAE=tg∠CEB=── ,得
    CE
    c
    tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──結論已明。
    a
    (附圖 {圖})
    圖3
    二、創設反面,培養逆向思維能力
    所謂逆向思維,就是與原有的思維方向完全相反的思維。逆向思維能有效地打破思維定勢,啟動思維轉換 機制。當我們的思維陷入某種困境時,逆向思維往往使人茅塞頓開。因此,創設命題的逆命題,是深究問題的 又一重要方面。如:
    例3,如圖4,Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長分別為3cm和4cm,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D,求: BD的長。(《幾何》第三冊P128第2題)
    (附圖 {圖})
    (附圖 {圖})
    圖4
    此題是很簡單的解答題,但經深究,可創設:
    命題:如圖5,Rt△ABC中,兩條直角邊是AC、BC,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D,過D作圓的切線,交 BC于E,求證:E是BC中點。
    證明:連結CD、OD,證EB=ED
    從而得:E是BC中點。
    (附圖 {圖})
    圖5
    逆命題:BC、AC是Rt△ABC的兩條直角邊,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點D,E是BC中點,求證:DE是圓的 切線。
    證明:連結OD、CD、OE,證△ODE≌OCE?∠ODE=∠OCE=90°,結論得證。
    充分挖掘這種習、例題的潛能,創設新穎課題,使學生在積極的探究中學到了知識,發展了智力,提高了 能力。
    三、由此及彼,培養思維的廣闊性
    思維的廣闊性,也稱為思維的廣度,是指思路的寬廣,富有想象力,善于從多角度、多方向、多層次去思 考問題,認識問題和解決問題。
    數學習題浩如煙海,如何從“題海”中解脫出來,提高教學能力呢?這就要求我們對課本的習、例題不僅 僅滿足于具體方法,而應該挖掘題目中的豐富內涵,訓練學生思維的靈活性、廣闊性,提高邏輯思維能力和發 展創造能力。如:
    例4,如圖6,△ABC中,E是內心,∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于D,求證:DE=DB。(《幾何》第三 冊P117第12題)

    證明:連結BE,證∠BED=∠DBE?DE=DB。
    (附圖 {圖})
    圖6
    例5,如圖7,△ABC中,∠A和∠B的平分線相交于I,AI交邊BC于D,交△ABC的外接圓于點E,求證;IE[2, ]=AE·DE。
    證明:連結BE,證△BED∽△AEB?BE[2,]=AE·DE,再證IE=BE,即得:IE[2,]=AE·DE。
    (附圖 {圖})
    圖7
    例6,如圖8,△ABC中,∠A的平分線交BC于F,交△ABC的外接圓于D,連結BD,過D作△ABC的外接圓的切線 ,交AC的延長線于E,如果AB:AC=3:2,BD=3?,DE+EC=6,求:BF的長。
    (附圖 {圖})
    圖8
    解:連結CD,證BD[2,]=BF·DE,
    36-2EC
    再證AC= ─── ,
    EC
    12
    后證AC= ──,從而求得:BF=4.5。
    EC
    如果AD不是∠A的平分線,而是△ABC外接圓的直徑,那么有
    例7,如圖9,AE是△ABC外接圓的直徑,AE交BC于D,求證:tgB·
    ADtgC=──
    DE
    證明:連結BE、CE,
    AC
    證tgB=tgCEA=──
    CE
    AB
    tgC=tgBEA=──
    BE
    AD AB·AC AD
    再證──=──── ,從而得tgB·tgC=──
    DE BE·CE DE
    (附圖 {圖})
    圖9
    如上所述,抓住題目的特征,適當的演變、引伸、拓寬,不僅溝通了知識間的內在聯系,使學生思維活動 始終處于一種由淺入深,由此及彼,由一題到一路的“動態”進程之中,而且充分調動了學生學習的積極性和 主動性,激發了他們的求知欲望和學習興趣,進一步發展了思維能力。
    四、拋磚引玉,特殊試探,發展智力,提高能力
    為了解題的需要,用一些特殊的數、式、圖形位置試探,從而獲得解題思路。如:
    例8,如圖10,△ABC中,∠A的平分線和外接圓相交于D,BE是圓的切線,DF⊥BC,DG⊥BE,垂足分別為F, G。
    (1)求證:DF=DG(《幾何》第三冊P131第6題)。
    (2)設R是BD上一點(不包括點B)。
    求證:S△RGB:S△RBC=1:2
    (1)證明:連結BD,證∠CBD=∠EBD,即得DF=DG。
    (2)分析:這是個定值的論證,且定值為1:2,如何尋求這個定值呢?一個命題在一般情況下是正確的,則 在特殊情況下也必然正確。本題動點R在BD上,那么把點R取在點D處,DF⊥BC,垂足為F,不難證明BF:BC=1:2, 也容易證明BD是∠CBE的平分線,點R在BD上,因為點R到∠CBE兩邊的距離相等,所以△RBG與△RBC的面積比與 R在BD所取的位置無關,現在只要證明BG=BF。
    1
    證明:①證BF=── BC ,
    2
    ②證BG=BF,
    ③設點R到BG、BC的距離分別為h[,1]、h[,2],則h[,1]=h[,2]
    所以,S△RGB:S△RBC=1:2。
    (附圖 {圖})
    圖10
    又如例9,如圖11,P是⊙O外一點,PA、PB分別和⊙O切于點A、B,PA=PB=4cm,∠APB=40°,C是弧AB上任 意一點,過C作⊙O的切線,分別交PA、PB于D、E。求:(1)△PDE的周長,(2)∠DOE的度數。(《幾何》第三冊 P133第2題)
    解:連結OA、OB、OC,①證DC=DA,EC=EB,可求得△PAB的周長=PA+PB=8(cm),②證
    1 1
    ∠DOC=─ ∠AOC,∠EOC=─∠BOC
    2 2
    可求得∠DOE=70°
    (附圖 {圖})
    圖11
    本題難度不大,但在原題基礎上加以變換更新,能使題目新穎,更有效地培養學生的智力,提高解題能力 。如:
    例10,如圖12,P是⊙O外一點,PA、

PB分別和⊙O切于點A,B,PA=PB=L,∠APB=n°,C是弧AB上任意一點 ,過C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E,求證:△PDE的周長和∠DOE的度都為定值。
    分析:定值問題中的所求“定”而無“值”,證明方向不明,這是這類問題最大的難處,如何突破這個難 關呢?可以這樣引導和啟發學生:C是弧AB上任意一點,那么把點C取在弧AB的中點上,射線PCO是∠APB的對稱 軸,射線DO是∠ADC的對稱軸,由此可得△PDE的周為定值2L,∠DOE
    1的定值為90°- ──n°,那么一般地就要證明:PD+DC+CE+PE=2L
    2
    1和∠DOC+∠EOC=90°- ─ n°成立。從求證式的結構特征,容易想
    2到,證明中必須用切線長定理。
    連結OA、OB、OC
    ∵DA、DC分別切⊙O于A、C
    1
    ∴DC=DA,∠DOC=─ ∠AOC,
    2
    1
    同理:CE=EB,∠EOC=─ ∠BOC
    2
    ∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L
    1 1
    ∠DOC+∠EOC=── (∠AOC+∠BOC)=90°- ── n°
    2 2
    1
    即PD+DE+PE=2L,∠DOE=90°- ──n°,結論已明。
    2
    (附圖 {圖})
    圖12
    課本習、例題有豐富的內涵,對強化雙基,開發智力,培養能力,有著極大的潛在價值。深入挖掘其豐富 內涵,引導學生進行適當的觀察、比較、猜測、聯想、引伸、拓廣,由此及彼等思維訓練,不僅可以把彼此孤 立的知識串聯成線,聯結成網,溝通成面,使學生解一題明一路,提高學習效率,而且還可以有效地培養學生 各種思維能力,提高分析問題、解決問題和探索創新的能力。


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