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自一道高考題的啟示

時間:2006-11-21欄目:數學論文

  2004年全國高考湖南卷(理工類)第21題如下:
  
  如圖,過拋物線x2=4y的對稱軸上任一點P(0,m),(m>0)作直線與拋物線交于A、B兩點,點Q是點關于原點的對稱點。
  
  (1)       設點P分有向線段所成的比為λ,證明:
  
  經審題,我們不難發現本題已將向量知識融進解析幾何題目,給了我們一個重要的啟示:伴隨著新教材的使用,在解決相關的解析幾何題目時,我們可以適時考慮引入向量思想,尤其是在審題時,只要及時捕捉共線與垂直信息,就可利用向量的坐標運算法則處理相關問題。并能在解題過程中體驗向量的神奇作用,感悟數學解題過程中的美妙意境。
  
  本題解法:
  
  設直線方程為y=kx+m帶入拋物線方程x2=4y,得
  
  x-4kx-4m=0   ①
  
  又設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)
  
  P
  
  由題意可知:P分有向線段所成的比為λ。
  
  O
  
  所以:
  
  易知Q(0,-m),向量
  
  以下枚舉幾例:
  
  例1.證明點到直線的距離公式:
  
  點P(x0,y0)到直線L:Ax+By+C=0的距離為:
  
  證明:如圖(1),作
  
  P
  
  因為向量,所以                M
  
  O              x
  
  例4.(2000年北京市春季高考試題)設A和B是拋物線y2=4px(p>0)上除原點外的
  
  y
  
  兩個動點,已知求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么
  
  A
  
  曲線。
  
  解:(如圖3)
  
  O

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