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全都是“0”惹的禍

時間:2006-11-21欄目:數學論文

  全都是“0”惹的禍
  
  甘肅寧縣城關小學  張朝陽  郵編:745200
  
  【關鍵詞】0、自然數、奇數、偶數、最小的一位數、可能性
  
  在我校最近的考試中,一道判斷題引起了關于最小一位數的爭議,一種觀點認為0是最小的一位數,一種觀點認為1是最小的一位數。
  
  觀點一論者拿出某雜志上刊登的某省教學研討活動簡報,其中有某中學校長和與會代表的座談紀要,一代表便提出這一問題就教于該校長,校長解釋道“原來一直認為1是最小的一位數,現在的教材把0也歸到了自然數之中,那最小的一位數也理應改為0. ”.
  
  筆者就是觀點二的代表,盡管有人提到闡發第一種觀點的是校長、是權威,應以權威觀點為準。請問我們是要真理,還是要權威?再者,校長在職務上有權威,不能斷定他在學術上也是權威,況且他也是即興解答、未作深思。
  
  我之所以認為“1是最小的一位數”,理由如下:
  
  理由一:0表示沒有,那就單獨的0而言,就不含有數位,所以,0 根本就不能稱為一位數。
  
  理由二:如果0是最小的一位數,那么我們便可以認為00是最小的兩位數,000是最小的三位數……這樣的結論有價值嗎?
  
  理由三:在整數范圍內,0 只有放在非0數字右面才占數位,這是一個不爭的公理。如240-210=?結果不能寫成030一樣,因為最左面的0不占數位,就是寫成“030”它也是兩位數。而85-85=?的結果是一個也沒有,本可以什么都不寫,但別人會認為你沒有表態,為了將沒有表態和沒有東西進行區別才有了“0”這個特殊的符號,單獨的“0”不在非0數字之右,當然也不占數位了,不占數位何來位數?很顯然,創造“0”的人是把“0”歸到數的家族里面了,現在也承認它是自然數了,但并沒有肯定凡數必有數位。因此,只有將“0”放在“1——9”這些有實際意義的數字之后組成新的數時才占數位,此時的占位是為了確立其高位非0數字的數位。
  
  理由四: 數位是數量的載體,用來承載有量的數,擁有數位的首先必須是有量的客觀存在。存在即“有”,是可物化的,除0外的其他自然數都可以與具體的物體建立起對應關系,都可具象化,唯0無法和物體建立對應關系,從這個意義上說‘0只是一個純粹的概念而已,有數無量,不具有客觀存在’,也就是說‘單獨的0根本不需要數位之舟來承載’,這是決定0單獨不占數位的本質。
  
  理由五:若單獨的0是有數位的,為何不能和其他自然數發揮同等的作用,卻要在很多情況下剝奪其參與權利?“0除外”的情況還少嗎?在除數中——0除外;在分母中——0除外;在比的后項中——0除外;在商不變定律中——0除外;在分數的基本性質中——0除外;在比的基本性質中——0除外;在倍數、因數中    ——0除外……這都是因為0的一無所有而在很多情況下沒有意義。
  
  理由六:百位的計數單位是最小的三位數——100,十位的計數單位是最小的二位數——10,個位的計數單位是最小的一位數——1.除0以外的自然數都是由這些基本單元累積而成,如果承認0占有數位、最小的一位數是0,就要承認個位的計數單位是0,那么請問:一位數4表示幾個0呢?尷尬隨之而來。
  
  理由七:正因為最小的一位數是1,所以有這樣的規律:一位數共有9個,不含0;二位數共有90個,不含00、01、02、03、04、05、06、07、08、09;三位數共有900個……一個最大的兩位數加上一個最小的一位數得到一個最小的三位數,一個最大的三位數加上一個最小的一位數得到一個最小的四位數……如果0 是最小的一位數,這些規律便毫無意義。
  
  這里我要提醒大家注意區分“數與號碼”、“數與溫度”、“數與幾位數”,不是所有的數都可以歸到幾位數之中。
  
  那么,最小的一位數能否進行人為規定呢?我認為不能。人為規定的都是比較獨立的事件,里面不用講道理,只是為了讓大家統一認識、便于交流,而最小的一位數是誰,牽扯到各種相關知識、里面存在太多的道理,對此類問題的內涵、外延、從屬等的定性,會牽動與之關聯的每一根神經,在處理時一定要用科學的、嚴謹的態度慎重對待,切不可過于隨便。若處理不當,難免在許多情境中自相矛盾,很難自圓其說,其結果是造成學術上的模糊,教學中的混亂。
  
  以上理由能讓你接受“1是最小的一位數”這一觀點嗎?我再次提醒大家在學術問題上不要迷信領導權威,就是學術權威也偶有出錯的時候。
  
  下面咱們再回到對那道判斷題的探討,題目是“三位數乘一位數,積可能是三位數,也可能是四位數。”對于該題的判斷也形成了兩種意見,持“最小的一位數是1”觀點的教師認為該題是對的;持“最小的一位數是0”觀點的教師認為該題將可能的結果沒有列舉完,還可能出現第三種結果,即當這個一位數是0時,積是一位數0,該題應判錯。
  
  我認為對于此題的判斷與“0 是不是一位數”的爭議無關,不管0 是不是一位數,該題都應判對。請你再將題目細讀幾遍,該句話中兩次出現“可能”這一詞語,應該說該題是對乘積位數可能性作出的判斷,是考察可能性的題目。三位數乘一位數,不管積有沒有其它可能,但積是三位數或四位數的可能性是勿庸置疑的,原題的判定何錯之有?請與以下事例進行類比,“盒中有紅、黃、藍三種球,從中摸出一個,可能是什么顏色的球?”生1說:“可能是紅球”,生2說:“可能是紅球,也可能是黃球。”你能說他們的判斷是錯的嗎?總不能因為有第三種可能,就否定前兩種可能性的存在吧?因為題目并沒有要求將所有的可能都列舉出來呀!何況該生用“可能是……也可能是……”的措辭判定為可能事件,并沒有用“不是……就是……”判定無第三種可能,更沒有用“一定”判定為必然事件。原題亦然。
  
  在這里我還想闡述一下0在奇數、偶數中的角色問題。現在的教輔資料和老師們普遍把0歸到了偶數之中,理由是0能被2整除。誠然,對偶數的定義是:能被2整除的數是偶數。首先讓我們就研究奇數、偶數的初衷做些推敲,奇數、偶數等同于生活中常說的單數、雙數,是以研究個體能否完全配對為出發點的,所以定義中所說的“數”應該是指可以物化的、非0的數。試想:0既然一個也沒有,也就夠不上個體,沒有個體,如何成對?奇數、偶數都應該是個體的實集而絕非空集;我們知道任意兩個奇數可以合并成一個偶數,而最小的奇數是“1”,至少要拿出兩個1方可配成一對,顯然,“一對”便是偶數的基本單元,無疑最小的偶數是2.個體在此中是何等的重要,有了個體的遞增,才有了奇偶鏈的交替延伸,相反,有了個體的遞減,才有了奇偶鏈的交替消減;我們還知道,偶數連續除以2最終可以得到一個奇數,而0呢?明知沒有,卻硬說它是單、是雙,抑或是奇、是偶,豈不是上演了一出“皇帝的新裝”?所以我認為:0既不是奇數,也不是偶數。
  
  但愿拙論能引起大家的爭鳴,澄清這些懸而未決的焦點問題,統一認識、規范教學,以免給學生造成誤導。

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