福彩3d字谜图谜总汇图|福彩3d画谜
您現在的位置: 范文先生網 >> 教學論文 >> 數學論文 >> 正文

構造組合模型巧證組合恒等式

時間:2006-11-21欄目:數學論文

  構造組合模型巧證組合恒等式
  
  證明組合恒等式,一般是利用組合數的性質、數學歸納法、二項式定理等,通過一些適當的計算或化簡來完成。但是,很多組合恒等式,也可直接利用組合數的意義來證明。即構造一個組合問題的模型,把等式兩邊看成同一組問題的兩種計算方法,由解的唯一性,即可證明組合恒等式。
  
  例1證明Cnm=Cnm-1+Cn-1m-1.
  
  分析:原式左端為m個元素中取n個的組合數。原式右端可看成是同一問題的另一種算法:把滿足條件的組合分為兩類,一類為不取某個元素a1,有Cnm-1種取法。一類為必取a1有Cn-1m-1種取法。由加法原理可知原式成立。
  
  例2證明Cnm·Cpn=Cpm·Cn-pm-p.
  
  分析:原式左端可看成一個班有m個人,從中選出n個人打掃衛生,在選出的n個人中,p人打掃教室,余下的n-p人打掃環境衛生的選法數。原式右端可看成直接在m人中選出p人打掃教室,在余下的m-p人中再選出n-p人打掃環境衛生。顯然,兩種算法計算的是同一個問題,結果當然是一致的。
  
  以上兩例雖然簡單,但它揭示了用組合數的意義證明組合恒等式的一般思路:先由恒等式中意義比較明顯的一邊構造一個組合問題的模型,再根據加法原理或乘法原理對另一邊進行分析。若是幾個數(組合數)相加的形式,可以把構造的組合問題進行適當分類,如例1,若是幾個數(組合數)相乘的形式,則應進行適當的分步計算,如例2,當然,很多情況下是兩者結合使用的。
  
  例3證明Ckm+n=C0mCkn+C1mCk-1n+C2mCk-2n+…+CkmC0n,其中當p>q時Cpq=0.
  
  證明:原式左邊為m+n個元素中選k個元素的組合數。今將這m+n個元素分成兩組,第一組為m個元素,剩下的n個元素為第二組,把取出的k個元素,按在第一組取出的元素個數i(i=0,1,2,…,k)進行分類,這一類的取法數為CimCk-in.于是,在m+n個元素中取k個元素的取法數又可寫成ki=0CimCk-in.故原式成立。
  
  例4證明
  
  Cnn+Cnn+1+Cnn+2+…+Cnn+m=Cn+1n+m+1.
  
  證明:原式右邊為m+n+1個元素中取n+1個,元素的組合數,不失一般性,可以認為是在1,2,3,…,m+n,m+n+1,共m+n+1個數中取n+1個數。將取出的n+1個數a1,a2…,an+1由小到大排列,即設a1<a2<an+1,按取出的最大數an+1=k+1分類,顯然k=n,n+1,…,n+m.當k=n+i時(i=0,1,2,…,m),這一類取法數為Cnn+i,所以取法總數又等于mi=0Cnn+i.原式成立。
  
  對于某些組合恒等式,有時其左右兩邊所表示的意義都不易看出,但是如果根據組合數的特點仔細分析,或對原式進行一些適當的變形,往往可以巧妙地構造一個組合問題做為模型,證明就可化難為易。
  
  例5證明C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn=n2n-1.
  
  分析:注意,原式左端等價于C11C1n+C12C2n+…+C1nCnn,這里C1iCin可表示先在n個元素里選i個,再在這i個元素里選一個的組合數,可設一個班有n個同學,選出若干人(至少1人)組成一個代表團,并指定一人為團長。把這種選法按取到的人數i分類(i=1,2,…,n),則選法總數即為原式左端。今換一種選法,先選團長,有n種選法,再決定剩下的n-1人是否參加,每人都有兩種可能,所以團員的選法有2n-1種。即選法總數為n2n-1種。顯然兩種選法是一致的。
  
  這里應注意2n的意義,并能用組合意義證明ni=0Cin=2n.
  
  例6證明
  
  C1n+22C2n+32C3n+…+n2Cnn=n(n+1)2n-2.
  
  分析:本題左邊與例5左邊類似,不同的是例5左邊為ni=1iCin,而本題為ni=1i2Cin.只要在例5構造的模型中加上同時還要選一個干事,并且干事和團長可以是同一個人,即可符合原式左邊。對原式右邊我們可分為團長和干事是否是同一個人兩類情況。若團長和干事是同一個人,則有n2n-1種選法;若團長和干事不是同一個人,則有n(n-1)2n-1種選法。所以,共有n2n-1+n(n-1)2n-2=n(n+1)2n-2種選法。
  
  例7證明
  
  (C1n)2+2(C2n)2+3(C3n)2+…+n(Cnn)2=nCn-12n-1.
  
  分析:注意到(Cin)2=CinCn-in,可設一個班有n個男生與n個女生,在這2n個學生中選n個同學(至少有1名男生)組成一個代表團,并指定其中一名男生為團長,按選出的男生人數i(i=1,2,…,n)分類,這一類有iCinCn-in=i(Cin)2種選法,總的選法有ni=1i(Cin)2種。原式右邊的組合意義是明顯的,即直接在n個男生中選一名團長,有n種選法,再從剩下的2n-1人中選出n-1人為團員,共有nCn-12n-1種選法。
  
  掌握了用組合意義證明組合恒等式這種方法后,還可通過構造一個組合問題的模型,編擬組合恒等式習題。如在例5中除了要選一名團長外,還要選一名干事和一名聯絡員(可以兼職)便可得ni=1i3Cin=n2(n+3)·2n-3.具體證法可參照例5與例6.又如,在例7中除了在2n個同學中選出n個團員及指定一名男生為團長外,還要有一名男生擔任聯絡員(可以兼職),則可得組合恒等式:ni=1i2(Cin)2=nCn-12n-1+n(n-1)Cn-22n-2.若在例7中要求,留下的女生中再選一名負責人,則有組合恒等式ni=1i2(Cin)2=n2Cn-12n-2.具體證明讀者可自己完成。實際上習題的編擬過程就是用組合意義證明恒等式的過程。
  
  若把恒等式中較簡單的一邊去掉,變為化簡組合式,用此法同樣能完成化簡,讀者可自己體會。
  
  用組合數的意義證明組合恒等式,除了對提高學生的智力及觀察分析問題的能力有幫助外,還有它獨到的好處,那就是把抽象的組合數還原為實際問題,能提高學生應用數學知識解決實際問題的能力,把枯燥的公式還原為有趣的實例,能提高學生的學習興趣。所以,老師在教學過程中適當介紹一些這方面的內容,將是大有益處的。

下頁更精彩:1 2 3 4 下一頁

福彩3d字谜图谜总汇图